Sumário da Semana 8

Cap 0. Revisões. Exercícios de aplicação. Variação da área de um círculo (volume de uma esfera) com a medida do raio. Verificação da lei de derivação de um produto de funções por meio de um rectângulo dinâmico. Derivada da função inversa. Derivadas de ordem superior.

2º Trabalho prático: Uso da calculadora para verificar convergência de sequências numéricas.

Exercícios.

Ficha 1:

60. a d e f g n q

Leitura

Sebenta: ler páginas 74 -- 78; 80 -- 82.

Funções elementares

Existe uma quantidade infinita de funções e de fórmulas que as representam. No entanto, uma boa parte das funções que surgem na prática está contida numa família de funções ditas funções elementares. Esta classe de funções é constituida pelas funções constantes, potências, exponenciais, logarítmos, funções trigonométricas directas, funções trigonométricas inversas, e todas as funções construídas usando estas, por meio de um número finito de operações de adição, subtracção, multiplicação, divisão e composição. Veremos adiante o quanto vai ser útil sermos capazes de decompôr a expressão de uma função nas suas componentes elementares.

Nota: as funções que constituem a classe das funções elementares podem variar de autor para autor. Há quem defina uma classe de funções, a que chama elementares, mais abrangente do que a que usamos no nosso curso.

70. Funções elementares -- 1 [08.21]  

71. Funções elementares -- 2 [05.32]  

72. Decomposição de uma função nas suas componentes elementares []  

Derivadas de algumas funções elementares

Conhecendo as derivadas das funções dos seis tipos referidos no ponto anterior, e conhecendo algumas propriedades do operador de derivação, ficamos em condições de obter a função derivada de uma grande pare das funções deriváveis que aparecem na prática. Vamos ver como fazê-lo nos vídeos seguintes.

72. Derivadas de algumas funções elementares [09.23]  

73. Algumas propriedades do operador de derivação [14.34]  

74. Exercícios de derivação 1 []  

75. Exercícios de derivação 2 []  

Derivada da função composta

A composição de funções tem bastante importância na prática. Se considerarmos $y=h(x)$ como a descrição matemática de um sistema com input $x$ e output $h(x)$, e $y=g(x)$ como a descrição matemática de um sistema com input $x$ e output $g(x)$, então a função composta de $h(x)$ com $g(x)$, representada por $y=g(h(x))$ ou $(g \circ h)(x)$, representa um sistema com input $x$ e output $g(h(x))$ -- o output $h(x)$ é o input de $g(x)$. A derivada da função composta é, em termos simples, o produto das derivadas das duas funções componentes.

$[(g \circ f)(x)]' = g'(f(x))\times f'(x)$ .

76. Exemplo prático da derivada da função composta []  

77. Demonstração do teorema da derivada da função composta []  

78. Exercícios []  

Derivada da função inversa

Toda a função $f(x)$ bijectiva num dado intervalo de valores de $x$, admite uma função inversa $f^{-1}(x)$ nesse intervalo.

$f(x)$ é bijectiva num intervalo de valores de $x$, sse $f(x)$ é calculável para todos os valores de $x$ do intervalo e se não existem nesse intervalo quaisquer dois valores diferentes para a variável $x$ com a mesma imagem por $f(x)$.

Por exemplo, $f^{-1}(x)=e^x$ é a função inversa de $f(x)=ln(x)$ no intervalo dos números reais positivos $\mathbb{R}^+$ e $f^{-1}(x)=ln(x)$ é a função inversa de $f(x)=e^x$ no conjunto dos números reais $\mathbb{R}$.

Também $f^{-1}(x)=x^2$ é a função inversa de $f(x)=\sqrt{x}$ no conjunto dos números reais positivos $\mathbb{R}^+$, e $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ é a função inversa de $f(x)=e^x$ no conjunto dos números reais positivos $\mathbb{R}^+$.

Também $f^{-1}(x)=arcsen(x)$ é a função inversa de $f(x)=sen(x)$ no intervalo $[-\pi/2, \pi/2]$ e $f^{-1}(x)=sen(x)$ é a função inversa de $f(x)=arcsen(x)$ no intervalo$[-1,1]$.

79. Explicação destes casos de funções inversas []  

A relação seguinte mostra que conhecendo a derivada da função directa $f(x)$ podemos obter a derivada da função inversa $f^{-1}(x)$, e vice-versa.

$[{f^{-1}(x)]'=1/ f'(u)}, \; u=f^{-1}(x)$

80. Teorema de derivação da função inversa []

Derivada da função implícita

Uma função diz-se escrita na forma explícita quando a sua equação se apresenta resolvida em ordem a $y$. É o caso da função $y=2x+3$. Uma função diz-se escrita na forma implícita quando a sua equação não se apresenta resolvida em ordem a $y$. É o caso da função $y-2x=3$.

Nem todas as equações na forma implícita representam uma função. A equação $x^2 +y^2=4$, cuja curva é a circunferência de centro na origem e raio $2$, representa implicitamente as duas funções $y= \pm \sqrt{4-x^2}$.

As as equações $e^y=x+y$ e $y^5-3y^4+2y^3-y^2+x=0$ não se podem resolver em ordem a $y.$ Apesar disto, usando um plotter para esboçar os gráficos destas curvas, verificamos que a primeira não representa nenhuma função implícita, $y=f(x)$, já que a cada valor de $x$ correspondem dois valores de $y$. A segunda representa funções implícitas apenas em alguns intervalos do valor de $x$.

A derivada de uma função na forma implícita pode, em certos casos, obter-se sem ser necessário explicitar a equação correspondente, como se mostra nos vídeos seguintes.

81. Exemplos de derivação de funções implícitas []  

Derivadas de ordem superior

Dada uma função $f(x)$, podemos considerar, se existirem, as derivadas de primeira ordem, $f'(x)$, segunda ordem, $f''(x)$, terceira ordem, $f'''(x)$, ..., n-ésima ordem, $f^{(n)}(x)$. as derivadas de primeira e segunda ordens são importantes na resolução de exercícios de optimização de funções de uma variável.

82. Derivadas de ordem superior []  

83. Intervalos de monotonia de funções 1 []  

84. Intervalos de monotonia de funções 2 []  

85. Cálculo de extremos de funções 1 []  

86. Cálculo de extremos de funções 2 []  

Exercícios de aplicação de derivadas

1. Determinar a taxa de variação instantânea da área de um círculo com a medida do seu raio. Interpretar geometricamente o resultado.

87. Resolução []  

2. Determinar a taxa de variação instantânea da área de um rectângulo, $A(t)$ em $m^2$, com o tempo $t$, em horas. As medidas dos lados do rectângulo são $a(t)=2t$ e $b(t)=3t$, ambas em metros. Interpretar geometricamente o resultado.

88. Resolução []  

89. Determinar a taxa de variação instantânea do volume de uma esfera com a medida do seu raio. Interpretar geometricamente o resultado.

Exercícios para mostrar aos monitores (na semana 9)

Tenta compreender os exercícios que entregas. Copiar as resoluções de outros sem as entender não nos ensina nada.

16.   28.   46.  48 a. c.