Sumário da Semana 7

Cap 0. Revisões. Informação geométrica que a função derivada fornece sobre a sua primitiva. Derivadas de funções elementares, derivadas de somas, produtos e divisões de funções. Derivada da função composta.

Exercícios.

Ficha 1:

59. b d e f g i j k m q r s

Leitura

Sebenta: ler páginas 63 -- 76.

Vídeos

Função derivada

O conjunto de vídeos que se segue faz uma introdução intuitiva à noção de derivada de uma função. O operador de derivação fundamenta o ramo da matemática conhecido por Cálculo e é imprescindível para a formalização matemática em física e em engenharia. A função derivada de uma dada função $f(x)$ representa-se por $f'(x)$ ou por $\frac{df(x)}{dx}$.

Começamos por definir o conceito de velocidade de um móvel (na linguagem da física o termo 'móvel' designa qualquer corpo ou partícula em movimento). A velocidade representa a variação da distância percorrida com o tempo decorrido. Para calcular uma velocidade precisamos da informação de distância percorrida e tempo decorrido de, pelo menos, dois momentos do movimento. Veremos depois como o operador de limite matemático nos vai permitir obter uma 'máquina' (função derivada) que nos vai dar a ilusão de permitir calcular velocidades usando a informação de um só momento do movimento. Espectacular!

61. Velocidade [05.26]  

Segue-se a definição de velocidade média. A velocidade média de um móvel entre dois pontos da sua trajectória, depende apenas do valor da distância entre os pontos e do tempo que dura o trajecto entre eles, sendo independente do modo como o móvel se desloca de um ponto para o outro. Corresponde à velocidade constante a que se deveria deslocar um outro móvel para realizar, no mesmo tempo, o mesmo trajecto entre os dois pontos.

62. Velocidade média [05.49]  

Na linguagem da física, a velocidade de um móvel é representada por um vector. O módulo (comprimento) desse vector representa a rapidez com que o móvel se desloca (em km/h, por exemplo), e a direcção e sentido do vector representam a direcção e sentido do deslocamento. No entanto, se o movimento se der sobre uma curva conhecida, podemos representar a velocidade apenas por um número, que é positivo se o movimento se dá num sentido estipulado à partida sobre essa curva, e negativo se o movimento se dá no sentido oposto. Neste caso podemos, sem ambiguidade, falar de velocidades positivas e de velocidades negativas.

63. Velocidade positiva e negativa [07.55]  

Usando a poderosa ferramenta de limite matemático, calculamos no próximo vídeo a velocidade de um móvel num ponto da sua trajectória usando pares de valores temporais à esquerda (anteriores) desse ponto. Fica aberto o caminho para obtermos uma função que forneça a velocidade do móvel num ponto, usando apenas a informação de tempo desse ponto. É isto que a função derivada faz.

64. Velocidade 'à esquerda' num ponto [10.23]  

Analogamente, calculamos a velocidade de um móvel num ponto da sua trajectória usando pares de valores temporais à direita (posteriores) desse ponto. Obtemos o mesmo valor de velocidade neste caso e no anterior.

65. Velocidade 'à direita' num ponto [04.59]  

Definimos no vídeo seguinte a função derivada, $f'(x)$. Se $f(x)$ representa a posição do móvel em função do tempo $x$, a função derivada $f'(x)$ é o 'velocímetro' do móvel, permitindo-nos conhecer a sua velocidade em cada instante $x$.

66. Função derivada [07.28]  

A derivada $f'(a)$ de uma função $f(x)$ no ponto $x=a$ é um número. Esse número corresponde ao declive da recta tangente ao gráfico da função $f(x)$ no ponto de abcissa $x=a$.

67. A derivada é o declive da recta tangente [05.08]  

O sinal da derivada de uma função num ponto $x=a$ fornece importante informação sobre a variação local da função.

Se $f'(a)>0$, a função é crescente no ponto $x=a$, i.e., numa vizinhança suficientemente pequena do ponto $x=a$, o valor $f(a)$ é maior que $f(a-h)$ e menor que $f(a+h)$, com $h$ positivo.

Se $f'(a)<0$, a função é decrescente no ponto $x=a$, i.e., numa vizinhança suficientemente pequena do ponto $x=a$, o valor $f(a)$ é menor que $f(a-h)$ e maior que $f(a+h)$, com $h$ positivo.

Se $f'(a)=0$, a função é estacionária no ponto $x=a$, i.e., numa vizinhança suficientemente pequena do ponto $x=a$, o valor $f(a)$ é constante, ou aproximadamente constante.

68. Significado do sinal da derivada [09.57]  

Se a derivada tem sinal positivo em todos os pontos dum intervalo $(a,b)$ de valores de $x$, a função é crescente no intervalo $[a,b]$.

Se a derivada tem sinal negativo em todos os pontos dum intervalo $(a,b)$ de valores de $x$, a função é decrescente no intervalo $[a,b]$.

Se a derivada se anula em todos os pontos dum intervalo $(a,b)$ de valores de $x$, a função é constante no intervalo $[a,b]$.

Os intervalos em que a derivada $f'(x)$ é nula ou tem sinal constante, designam-se por intervalos de monotonia da função $f(x)$.

69. Intervalos de monotonia de uma função. Pontos de extremo [04.46]  

Exercícios para mostrar aos monitores (na semana 8)

Tenta compreender os exercícios que entregas. Copiar as resoluções de outros sem as entender, não nos ensina nada.

16.   28.   46.  48 a. c.