Sumário da Semana 13

Cap 2. Séries (de potências)

Polinómios. Expansão de funções em série de MacLaurin: $e^x$, $sen(x)$, $cos(x)$. Séries de Taylor. Exercícios.

2º miniteste de avaliação.

Exercícios.

Leitura

Séries de potências

Um polinómio de grau $n$ na variável $x$ é uma expressão do tipo

$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n$

sendo $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots$ constantes designadas por coeficientes do polinómio.

128. Expansão de um polinómio em potências de (x-a) [10.38]  

Os polinómios são funções cujo valor num ponto $x$ é facilmente calculável. São também funções fáceis de derivar e primitivar. O mesmo não acontece com funções como $sen(x)$. A expressão '$sen(0.15)$' não contém em si nenhum procedimento para o cálculo do seu valor decimal. Não há nenhum polinómio que represente a função $sen(x)$.

128. Nenhum polinómio representa a função seno) [07.33]  

Mas uma série de potências pode representar a função seno.

Chama-se série de potências ou série inteira a uma série da foma

$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots= \Sigma_{n=0}^{\infty} a_nx^n$

sendo $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots$ constantes designadas por coeficientes da série. Dizemos que esta é uma série de potências e $x$.

Mais geralmente chama-se série de potências de $(x-a)$ a uma série na forma

$a_0 + a_1 (x-a) + a_2 (x-a)^2 + \cdots + a_n (x-a)^n + \cdots$ $= \Sigma_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n$.

Como exemplo, a igualdade

$\qquad \frac{1}{1-x}=1 + x + x^2 + x^3 +\cdots + x^n + \cdots$

tem no segundo membro uma série de potências de $x$ que representa a função racional no primeiro membro para valores de $x$ no intervalo $(-1,1)$.

128. Justificação da igualdade [11.17]  

129. Interpretação gráfica da igualdade [06.15]  

Obtemos em seguida a representação em série de potências de $x$ para a função $e^x$.

128. Série de potências de x da função exponencial de base 'e' [14.33]  

129. Intervalo de convergência da série [08.03]  

130. Alguns testes à série de potências de x da função exponencial de base 'e' [14.23]  

Obtemos agora a expansão em série de potências de $(x-1)$ para a função $e^x$.

128. Série de potências de (x-1) da função exponencial de base 'e' [11.11]  

129. Intervalo de convergência da série [07.11]  

130. Interpretação gráfica das séries de potências de x e de (x-1) da função exponencial de base 'e' [09.33]  

Série de Taylor

Seja $f(x)$ uma função definida numa vizinhança do ponto $x=a$ e possuindo derivada de qualquer ordem neste ponto. Denomina-se série de Taylor de $f(x)$ no ponto $x=a$ a série

$\qquad \Sigma_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n,$

com $\quad a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$.

Se $a=0$ a série obtida diz-se série de MacLaurin da função $f(x)$.

Interessa que a série represente, num dado intervalo, a função $f(x)$ correspondente. Nos exemplos acima vimos o caso da igualdade

$\qquad \frac{1}{1-x}=1 + x + x^2 + x^3 +\cdots + x^n + \cdots$

que só é válida no intervalo $(-1, 1)$. Já a série de potências da função $e^x$ representa a função no intervalo $(-\infty, \infty)$. A este respeito, valem os seguintes resultados.

Teorema

Se $f(x)$ é uma função que admite derivadas de todas as ordens no intervalo $[a - \delta, a + \delta]$ e se as suas derivadas são limitadas nesse intervalo, isto é, existe um número positivo $M$ tal que $|f^{(n)}(x)| \leq M$ para todos os valores de $x$ do intervalo, então a série

$\qquad \qquad \Sigma_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \quad$

representa a função $f(x)$ no intervalo considerado.

Teorema

A expansão em série de potências de uma função $f(x)$ em torno de um ponto $x=a$ é única. Isto significa que se

$\qquad \Sigma_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n \quad$ e $\qquad \Sigma_{n=0}^{\infty} b_n(x-a)^n \quad$

ambas convergentes num intervalo $(a-\delta, a+\delta)$, representam a função $f(x)$, então $a_n = b_n$ para todos os valores de $n$.

Teorema (sobre a convergência de séries de potências)

• Uma série de potências converge num certo intervalo $(a-\delta, a+\delta)$, centrado no ponto de expansão $x=a$ e diverge para pontos fora desse intervalo. O valor de $\delta$ diz-se raio de convergência da série, designando-se o intervalo por intervalo de convergência da série. Em particular o intervalo de convergência pode corresponder a toda a recta real, $(-\infty, \infty)$, caso em que o raio de convergência é infinito.

• Se os extremos do intervalo de convergência são finitos, pode acontecer que a série convurja nos dois extremos, divirja nos dois extremos, ou convirja num deles e divirja no outro.

128. Estudo da convergência nos extremos do intervalo [11.31]  

• Toda a série de potências converge sempre no ponto de expansão $x=a$.

Série de MacLaurin das funções $sen(x), cos(x), e^x$

Nos vídeos seguintes determinamos as séries de MacLaurin das funções seno, cosseno e exponencial de base 'e'.

128. Expansão da função seno em potências de x [13.33]  

129. Expansão da função seno em potências de $(x-\pi/4)$ [08.22]  

130. Interpretação gráfica das séries de potências de x e de $(x-\pi/4)$ da função $sen(x)$ -- parte 1 [09.33]  

131. Interpretação gráfica das séries de potências de x e de $(x-\pi/4)$ da função $sen(x)$ -- parte 2 [03.21]  

132. Expansão da função cosseno em potências de x [15.30]  

133. Expansão da função cosseno em potências de $(x-\pi/4)$ [08.09]  

134. Interpretação geométrica []  

Os vídeos seguintes dão uma ideia de como usar, na prática, uma série de potências. De forma simples, na prática usam-se truncaturas das séries (somatórios com um número finito de parcelas) como polinómios aproximantes das funções representadas por essas séries. Existem fórmulas de erro que permitem determinar quantos termos uma truncatura da série eve ter de modo a que o erro da aproximação não ultrapasse um certo valor.

Um exemplo com a função $e^x$ [04.06]  

Outro exemplo com a função $e^x$ [06.28]  

Exemplo com a função $cos(x)$ [06.30]  

Uma igualdade fundamental para começar a perceber qual o papel dos números complexos na Física Clássica, e por consequência na engenharia, é a fórmula de Euler,

$\qquad e^{ix} = cos(x) + isen(x)$.

128. Justificação da Fórmula de Euler [09.27]  

129. Exemplo do carácter simplificador da Fórmula de Euler [07.21]  

130. Simplificação do cálculo de alguns integrais usando a Fórmula de Euler [15.09]  

131. Gráfico da exponencial complexa no plano de Argand [05.26]  

132. Funções trigonométricas usando a exponencial complexa [06.10]  

Exercícios para mostrar aos monitores (na semana 13)

Tenta compreender os exercícios que entregas. Copiar as resoluções de outros sem as entender não nos ensina nada.

Ficha 2: 8. d   9. l (ler Sebenta, pgs 107 -- 108)